2, 3, 5, 7, 11, ..., 2^{82 589 933} - 1

Cómo encontrar el mayor número primo conocido

En diciembre del año pasado, se descubrió el número primo conocido más grande, que resultó ser 282 589 933 - 1. La notación decimal de este número es más del doble de la longitud de la novela de Marcel Proust En busca del tiempo perdido (la novela más larga según el libro Guinness de los récords). El matemático Ivan Telpukhovskiy cuenta a petición de N + 1 cómo se encuentran los números primos y también por qué son necesarios.

¿Qué son los números primos?

Los números primos, que se pueden ver en la portada de casi cualquier libro de matemáticas de la escuela, son números naturales que son solo divisibles por sí mismos y por 1. Por ejemplo, el número 3 es un número primo, pero el número 6 (= 2 × 3) ya no lo es.

Los números primos son "ladrillos de construcción" en el mundo de los números naturales, ya que cualquier número natural solo puede ser representado de una manera única como un producto de números primos (sin importar el orden de los factores). Por ejemplo, el número 90 se representa como un producto de 2 × 3 × 3 × 3 × 5. Esto lo afirma el teorema fundamental de la aritmética, conocido al menos por Euclides, pero cuya demostración fue dada después de más de dos mil años por el joven Gauss, el príncipe de las matemáticas.

Es razonable hacernos la siguiente pregunta: ¿hay un número finito de números primos? La respuesta negativa a esta pregunta fue dada por Euclides en su noveno libro "Elementos". Su argumento resultó ser tan simple y fundamental que sigue siendo una de las primeras demostraciones rigurosas matemáticas estudiadas en la escuela.

Bien, ahora sabemos que hay infinitos números primos, pero ¿con qué frecuencia ocurren en la fila de los números naturales? En otras palabras, ¿qué tan rápido crecen los números primos, y podemos encontrar al menos una fórmula aproximada para ellos?

La respuesta a esta pregunta se dio a finales del siglo XIX y se llama el teorema de los números primos. El teorema se puede interpretar de la siguiente manera: la probabilidad de que un número elegido al azar de 1 a N sea primo es asintóticamente igual a 1 / lnN. Como resultado, encontramos que los números primos aparecen con menor frecuencia a mayor distancia (intenta verlo tú mismo con ejemplos).

La tasa de crecimiento de los números primos

Para demostrar este teorema se desarrolló el análisis complejo, una área de las matemáticas cuyos métodos todavía se utilizan activamente en la teoría de números hasta el día de hoy. No existe una demostración sencilla de este teorema, pero su idea, que pertenece a Riemann, se basa en el hecho de que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con los ceros de las funciones zeta de Riemann.

Informalmente, la demostración dice que es posible definir una función - una "onda sonora", que suena como logaritmos de todos los números primos (y potencias de los primos) menores que un número N dado. Si "escuchas" esta función (es decir, si le aplicas una transformación cercana a la transformación de Fourier) y grabas las notas que escuchas, ¡serán los ceros de la función zeta de Riemann!

El punto final de la demostración es la ausencia de ceros de la función zeta de Riemann en la línea recta vertical x = 1 en el plano complejo. Notamos una conexión sorprendente con la famosa hipótesis de Riemann. Usando la alegoría, la hipótesis de Riemann se puede formular de la siguiente manera: "La música de los números primos forma un acorde".

Si asumimos que la hipótesis de Riemann es correcta, lo que nos dice es que en consecuencia encontrar números primos grandes se vuelven cada vez más difíciles de encontrar. Además, una fórmula exacta para un número primo que permitiría encontrarlo en poco tiempo (por ejemplo, un polinomio) es actualmente desconocida.

¿Por qué los polinomios no ayudan?

Durante el siglo pasado, se han hecho muchos intentos para describir la fórmula exacta de los números primos. Un ejemplo de tal fórmula podría ser un polinomio con coeficientes enteros.

Veamos el caso donde podemos considerar los polinomios cuadráticos, es decir, de la forma an2 + bn + c. Por ejemplo, en el siglo XVIII Leonhard Euler observó que los valores del polinomio cuadrático n2 + n + 41 son primos para 39 valores consecutivos de n. Estos fenómenos se ilustran mejor con la espiral de Ulam: todos los números naturales (no mostrados) se escriben en una espiral desde el centro y los primos están marcados con negro como se ve en la siguiente imagen:

 


Espiral de Ulam

 

Observa que algunas de las diagonales en la espiral se distinguen claramente de otras: hay muchos números primos en ellas. Resulta que las diagonales de la espiral de Ulam son valores polinómicos cuadrados (¡intenta demostrarlo!). A pesar de estos descubrimientos, todavía no se sabe si existe un polinomio de segundo grado (o superior) de una variable que tome infinitos valores primos.

Recientemente, la prensa cubrió el logro del matemático Simon Plouffe, quien afirma haber encontrado una fórmula específica que da un récord de 50 números primos en una fila. Una mirada cuidadosa a esta fórmula empírica muestra una vez más cuán lejos estamos de un resultado significativo en la búsqueda de una fórmula para los números primos.

Ejemplos de fórmulas exactas

A pesar de que los matemáticos aún no pueden encontrar una fórmula que exprese todos los números primos, fórmulas cuyos valores permiten encontrar explícitamente números primos muy grandes sí son bien conocidas. En los últimos veinte años, la fórmula principal ha sido 2p-1, cuyos valores se denominan números de Mersenne. Justamente la “Gran búsqueda de números primos de Mersenne por Internet” GIMPS está buscando estos números. Entre otras fórmulas similares, se pueden mencionar los números primos de Fermat generalizados, que se buscan en un proyecto similar llamado PrimeGrid.

Adicionalmente, aquellos que “cazan” números primos pueden obtener una recompensa monetaria, sin embargo, esto no es lo principal en la ciencia.

 

Escrito por Ivan Telpukhovskiy

Traducido y adaptado por Viviana Márquez

Esta noticia ha sido publicada originalmente en N+1, ciencia que suma

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