¿Qué tiene Pi que no tenga e? lo que debes saber sobre este ignorado número

El número π nos suena a todos. Muchos podrán incluso recitar una retahíla de cifras aprendidas de memoria, de la constante que se ha llevado toda la fama matemática. Pero esta no es la única que rige muchos fenómenos que nos rodean. Su primo olvidado, el número e es un miembro importante de su círculo. Pero, ¿de qué nos vale a nosotros esta cifra irracional, con infinitos decimales que se representa con una insulsa e minúscula?  Pues lo cierto es que, aunque nunca llegues a usar una ecuación que la incluya, está más presente de lo que crees en tu vida cotidiana.

El número e está en la base de fenómenos tan dispares como la geometría de una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés obtenido de tus ahorros en el banco o el crecimiento de una población de bacterias. ¿Cómo es posible? Es una constante relacionada con el crecimiento continuo, que es la forma en la que se da el crecimiento en la naturaleza (no se crece a trompicones).

El científico escocés John Napier, a finales del siglo XVI, aceptó el reto de facilitar la trigonometría ligada a la navegación y a la astronomía. De sus esfuerzos nacieron los algoritmos neperianos, que, en esencia, convierten las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas y las potencias en productos, lo que simplificó mucho los cálculos matemáticos. Pues bien, la base de estos simplificadores es una constante con valor 2,7182818284... , el número e, cuya letra, aunque se corresponde con la palabra exponencial, se le atribuye a la inicial del apellido del científico que demostró su irracionalidad (que tiene decimales infinitos), Leonhard Euler. El número e se obtiene a partir de la expresión (1 + 1/n)n, siendo n cada vez más grande.

Pero, si no somos matemáticos, ¿para qué lo queremos? Una aplicación del número e es poder determinar, en un asesinato, el momento de la muerte. Es probable que tampoco seas médico forense, pero te puede interesar saber cómo se obtiene este dato. La ley de Newton sobre el enfriamiento establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno.

Esto quiere decir que, cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, pero cuando la diferencia de temperatura con su entorno es menor, se enfría más lentamente. Así, la velocidad en la que este proceso tiene lugar, va disminuyendo exponencialmente. La fórmula que se aplica para saber el tiempo que ha transcurrido desde que esta persona dejó de emitir calor es esta: T = Taire+ (Tcos– Taire) / ek·t , dónde T es la temperatura, t es el tiempo (en horas) y k es una constante. Y ahí podemos ver como el amigo e ayuda a resolver crímenes sin llevarse ninguna medalla por ello.

Sus dotes adivinatorias son, sin embargo, mayores: con el número e se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad va desapareciendo lentamente, a una velocidad regulada por la siguiente ecuación: Q = Q0· e-0'000124·t, donde Q es la cantidad final de carbono 14, Q0 es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.

^{El número e se hace presente hasta en las telas de arañas y tendidos eléctricos.}

Otra de sus apariciones estelares la podemos disfrutar en la ecuación que regula el patrón de crecimiento que siguen numerosas poblaciones (como las bacterias cultivadas en un laboratorio). Cuando no hay factores que limiten la progresión, se aplica esta fórmula: P = P0· et, que permite predecir cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0.

También se encuentra en las ecuaciones que se usan para conocer el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones  f(r) = er-1. En un sistema de este tipo, el interés aumenta continuamente. Es decir, en la primera fracción de tiempo se obtiene interés sobre la cantidad inicial. Durante el siguiente instante, se obtienen intereses sobre la cantidad inicial incrementada por los intereses ganados. Y así sucesivamente, siguiendo el patrón marcado por el número e. 

Pero hay más. En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la que se ajusta, por norma general, gran parte de los estudios de población suficientemente grandes), siempre está presente esta constante. Y, por si fuera poco, es la causante hasta de la forma de los tendidos eléctricos: una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva cuya expresión analítica es: f(x) = (et + e-x )/2.  Es la misma forma que podemos observar en los segmentos de las telas de araña.

Como verás, es un elemento matemático que no se merece que lo condenemos al ostracismo. Para entenderlo mejor, dale un vistazo a este vídeo de humor hecho por el matemático Eduardo Sáenz de Cabezón, que reivindica su figura. “¿Qué tiene π que no tenga e?”, se pregunta el humorista. Número e, eres un tipo complicado, pero tienes todo nuestro apoyo.

Beatriz de Vera
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