Matemático demuestra la imposibilidad de ocultarse completamente en los espejos

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Para ocultar un cuerpo, este puede ser rodeado con superficies de espejo, sin embargo, no será posible lograr, de este modo, una completa invisibilidad. Así lo señalan matemáticos rusos del Instituto para los Problemas de Transmisión de Información, quienes crearon un "índice de visibilidad" del cuerpo para tal situación y obtuvieron una estimación más baja de la pensada, que resultó ser distinta de cero. El trabajo se publica en la revista Proceedings of the Royal Society A.

Los espejos convencionales son fáciles de fabricar y utilizar por lo que es interesante ver si los objetos pueden ser ocultados completamente con su ayuda. Resulta que en tres dimensiones hay sistemas que son invisibles en tres direcciones, pero para dos dimensiones es posible construir un cuerpo de espejo que será invisible en n direcciones, donde n es arbitrario.

Sin embargo, existen restricciones a la posibilidad de crear un sistema de espejos que oculte completamente el cuerpo. En particular, se demuestra que no hay un sistema perfectamente invisible, es decir, que sea invisible desde cualquier punto que esté fuera de él.

Por lo tanto, en la realidad, la invisibilidad completa suele ser difícil de lograr. En tales casos, lo que se procuraría sería proporcionar al menos la invisibilidad parcial (enmascaramiento), que no hace que la detección del objeto sea completamente imposible, pero la complica mucho. Para investigar este problema matemáticamente, es necesario determinar estrictamente el índice de visibilidad, que muestra cuán efectivamente se ocultó el cuerpo. En su trabajo, los rusos introducen este índice y exploran sus propiedades.

Para ello, se emplean las siguientes suposiciones en el artículo. Considera un cuerpo D con una superficie reflectora lisa compuesta por piezas y colocada en un espacio euclideano con una dimensión d ≥ 2. Todos los rayos de luz son emitidos y registrados en una esfera de radio R que rodea al cuerpo dado. La reflexión de esta luz se produce de acuerdo con las leyes de la óptica geométrica, es decir, el sistema puede ser considerado como un billar en ℝd \ D.

 

Figura del modelo estudiado

Alexander Plakhov / Proc.R.Soc.A

El índice de visibilidad es definido por los matemáticos como una integral en diversas trayectorias de los rayos de luz, que caen sobre el cuerpo (teniendo en cuenta su dirección y el punto inicial en la esfera), a partir de alguna función f que depende del ángulo de desviación del rayo. Esta función debe ser monótonamente creciente en el intervalo [0; π] y ser igual a cero; todo lo demás se elige arbitrariamente. Es importante que el índice definido de esta manera dependa del radio de la esfera circundante R. Además, el cuerpo es completamente invisible cuando y solo cuando el índice es igual a cero para todos los radios R.

En primer lugar, el trabajo demostró un teorema, que afirma que para un cuerpo situado en una esfera de radio r se puede obtener un límite inferior en el índice de visibilidad. Esta estimación depende de la relación entre el volumen del cuerpo y la potencia del radio rd (lo llamaremos volumen relativo). En general, la dependencia es la potencia. La prueba se llevó a cabo mediante una evaluación secuencial de las integrales y su transformación a una forma más conveniente por medio de rotaciones.

Luego el equipo revisó el caso particular de la función f (f = 1 - cosθ) y encontró estimaciones más rigurosas para las dimensiones d = 2, 3. Resultó que en ambos casos el límite inferior del índice de visibilidad es proporcional a la segunda potencia del volumen relativo. Usando la desigualdad de Young, los resultados pueden ser reescritos en términos más convenientes para el diámetro del cuerpo.

Dmitry Trunin

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