Una paradoja lógica “irresoluble” se convierte en el dolor de cabeza de matemáticos que estudian el aprendizaje automático

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El constante desarrollo del machine-learning se ha topado con un muro gigantesco: una paradoja lógica descubierta por el matemático Kurt Godel el siglo pasado. Pero eventualmente será resuelta, ¿cierto? No mientras se sigan usando los axiomas (afirmaciones que se consideran verdaderas) sobre los cuales se basa todo el lenguaje matemático estándar.

¿Qué ha sucedido?

Veamos. Durante el siglo pasado, los descubrimientos en matemática y lógica revolucionaron la forma en cómo percibíamos las matemáticas. Precisamente en 1931, el matemático austrohúngaro Kurt Godel demostró que en cualquier sistema de axiomas que puedan modelar la aritmética tal y como la conocemos, algunas afirmaciones verdaderas no podrán ser demostrables.

Ahora, unos matemáticos con mucho interés por el aprendizaje automático decidieron echar una mirada y resolver algunos problemas. De esta manera se dieron cuenta que el problema sobre la capacidad de aprendizaje, si un algoritmo puede extraer información de un número finito de datos, está vinculada a una paradoja de Godel conocida como “hipótesis del continuo” que, casualmente, es una de esas afirmaciones no demostrables mencionadas en el anterior párrafo. Los investigadores publicaron sus resultados en Nature Machine Learning.

¿Hipotesis del continuo?

^{Un diagrama de Venn que ilustra la intersección de dos conjuntos.}

En la escuela todos hemos recibido al menos una clase de conjuntos matemáticos. Greog Cantor, responsable de toda la teoría detrás de estos conjuntos demostró en la década de 1870 que no todos los conjuntos de infinito elementos son del mismo tamaño. En particular, el conjunto infinito de números enteros es “más pequeño” que el conjunto infinito de todos los números reales.

Cantor también sugirió que no podría haber conjuntos de tamaño intermedio. Es decir, no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el del conjunto de números naturales y el del conjunto de los reales. A la anterior afirmación se le conoce como la “hipótesis del continuo”. Sin embargo, en las décadas siguientes se demostró que esta hipótesis no se podía probar ni refutar utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos, que se toman comúnmente como la base de todas las matemáticas.

¿Cómo se relaciona esto con el aprendizaje automático?

En el estudio publicado por Yehudayoff y su equipo se define a la capacidad de aprendizaje como la habilidad de hacer predicciones sobre un gran conjunto de datos mediante el muestreo de un pequeño número de datos. La relación con el problema de Cantor es que hay infinitas formas de elegir el conjunto más pequeño, pero se desconoce el tamaño de ese infinito.

A partir de aquí la hipótesis del continuo puede tomar dos caminos. Si se demuestra que es cierta, una pequeña muestra sería suficiente para realizar la extrapolación en relación al aprendizaje automático. Pero si es falso, ninguna muestra finita sería suficiente.

De esta manera, el problema de la capacidad de aprendizaje es equivalente a la hipótesis del continuo y, como ya habrás deducido, también se encuentra en un estado de limbo.

“Para nosotros, fue una sorpresa", dice el coautor del estudio Amir Yehudayoff del Instituto de Tecnología Technion-Israel en Haifa. Además agrega que no esperaba ver este fenómeno aparecer en un problema relativamente simple dentro del mundo del aprendizaje automático.

Peter O'Hearn, un científico informático de la University College London, agrega que los hallazgos probablemente serán importantes para la teoría del aprendizaje automático, aunque “no está seguro de que tenga mucho impacto en la práctica”.

A través de este estudio, el aprendizaje automático muestra que ha madurado como una disciplina matemática, uniéndose a los subcampos que se ocupan de la carga de la imposibilidad. Esto, sin embargo, no detendrá la manera en cómo siguen revolucionando el mundo que nos rodea. Como muestra minúscula de su potencial tenemos a IAs que predicen la apariencia de un platillo con solo “leer” las recetas o estando presentes en las conversaciones que mantienen las empresas y sus clientes a través de un chatbot.

Adrian Díaz
Esta noticia ha sido publicada originalmente en N+1, ciencia que suma. 

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